观察周围的现象会发现，大部分实际存在的随机变量都具有“中间大，两头小，左右对称”的特点。如测量某一长度的结果及其误差，某地区的年平均气温、平均雨量，在一定条件下生产的产品尺寸，弹落点与目标的距离，某农作物的产量，普通高考成绩，人的身高及智力水平等。这种随机变量所服从的分布称之为“正态分布”或“常态分布”，即“正常”情况下的随机变量总服从这种分布。不少书中还称之为“高斯分布”。若认为此分布的第一个发现者是数学王子高斯（C.F.Gauss，1777～1855），那就张冠李戴了。因为早在高斯之前，正态概率曲线所呈现的规律即已为人所知，其发现者就是法国杰出的数学家亚伯拉罕·棣莫弗。10德国马克上的高斯头像一、正态概率曲线产生的知识背景棣莫弗是法国的加尔文教徒。1685年废除南特法令后，他迁居至伦敦，故其多半生是在英国度过的。尽管他只能靠做家庭教师来维持极贫困的生活，但他在学术研究上颇有成就。1697年，棣莫弗当选为英国皇家学会会员。1710年，被委派参与英国皇家学会委员会，调查牛顿（Isaac Newton，1642～1727）、莱布尼兹（Wilhelm Leibniz，1646～1716）微积分的优先权问题。1735年，当选为柏林科学院院士。1754年，他又被法国巴黎科学院接纳为会员。亚历山大教皇的诗作赞美了他。他一生最感兴趣的是概率论研究。最初是惠更斯的概率论著作，启发了他的灵感。之后，他又研究了蒙特摩（P.R.Montmort，1678～1719）的《随笔》。雅各布去世后，大数定律的精髓在学术界开始传播，由此棣莫弗对概率论兴趣倍增，并开始对这神秘的“机会”进行研究。1711年，他关于概率论的论文《关于游戏中机遇巧合的概率》以拉丁文连续发表在英国《哲学学报》1、2、3月号上。该论文含有26个问题及几个有关概率计算的注释。随后，棣莫弗将该文扩展成英文专著《机遇论》，第1版问世于1718年，再版于1738年，去世后第2年又发行了第3版（棣莫弗临终委托朋友办理）。每次再版都对内容进行扩充。在第2版中，棣莫弗讨论了“伯努利大数定律”，并在雅各布研究的基础上，以二项分布的逼近导出了正态概率曲线的数学表达式。棣莫弗像二、正态概率曲线的发现过程棣莫弗同雅各布一样利用某些二项式系数来求概率。他娴熟地利用无穷级数对（a+b）n各项求和近似方法作了详细论述。他非常擅长利用无穷级数解决概率问题。棣莫弗首先考虑事件成败具有等可能的情况，即p=q=1/2，n为较大偶数时，求二项分布中心项b(n,1/2,n/2)的近似表示，然后研究中心项与任意项之比，进而发现了正态概率曲线。（1）二项分布中心项的近似表示。18世纪的概率问题需要求二项式中几项的和，当n很大时是一个很困难的问题。雅各布曾研究了这一问题，但其精度不理想。在此基础上，棣莫弗开始了这一问题的研究。他假设(1+1)n中的n很大，考虑其中心项与所有项的和之比。1721年，棣莫弗得到如下结果：设n=2m（n为整数），当n→∞时，其中这里Bi是伯努利数。（2）斯特林公式的证明。1725年，棣莫弗的朋友斯特林（James Stirling，1692～1770）做出了b(m)的两个级数表达式为这是π第一次被引到无穷级数中，令n→+∞(n=2m)，在上式右边只取主项1，则有棣莫弗得知斯特林的结果后，利用沃利斯（J.Wallis，1616～1703）1655年所得结论并将b(m)恒等变形为则立即得出斯特林公式不但有很高的理论价值，而且还可以得出一些较精确的数值估计。（3）正态分布和极限定理。1733年11月12日，棣莫弗将其一篇7页的论文送给了几位朋友。后来，棣莫弗听取朋友的意见做了修改，又增加一些内容，收录在《机遇论》第2版235～243页。正是在这篇文章中，他第一次导出了正态概率曲线的表达式。其中研究了二项分布中心项与任意项之比，即b(m)/b(m+d)，得出上式应有限制d/(2m)→0。这一点棣莫弗虽未明确指出，但在论证时，他没有超出这个限制。据此，棣莫弗指出：如果视二项式展开式的各项为一系列竖直线段的长度，把这些线段摆在同一直线上方且与之垂直，那么线段的上端点将描绘出一条曲线。由此得到的曲线具有两个拐点，它们分别位于最大项对应点的两侧。该曲线就是今日的正态概率曲线，进而棣莫弗又得到以下近似公式即在n次独立重复试验中事件出现m次的概率之期望值满足这里a,b为任意实数，且a<b。可以看到，正是上式揭示了二项分布与正态分布间的关系，从而将离散型随机变量与连续型随机变量建立了联系。1774年，拉普拉斯首先证明了并对棣莫弗的结果进行推广，建立了中心极限定理较一般的形式，即今天的棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理：若随机变量ξ ~B(n,p)，则对任何有限实数a,b（a≤b）（或a→−∞，b→+∞），有再有，若0<p<1，q=1−p，则对任意给定的实数a<b，当k满足下述极限一致成立这称之为局部极限定理。三、科学历史评价利用棣莫弗所得结果可以解决一大类实际应用问题。若某奖券的量很大，其中奖率为5%，如果要保证中奖的概率达90%，至少应购买多少张奖券？类似地，其方法也可以应用于保险业中。棣莫弗将其结果大量用于诸如此类的问题。这就初步显示了概率论这一数学分支的广泛应用性。就伯努利与棣莫弗研究的问题而言，伯努利讨论的是当试验次数趋于无穷大时频率的极限行为，而棣莫弗研究的则是有利事件出现次数的相关变量之极限分布，但二者又是相通的。棣莫弗的结论还否定了过去学术上的两种极端意见，得出观察值的平均值之精度与观察次数N的平方根成正比，这是认识自然的一个重大进展。同时，棣莫弗也看到的重要地位，特引进“模”这个概念，后来被“标准差”取而代之。在《机遇论》中，棣莫弗设计了各种新的方法，对各种类似的点数问题、换球问题、年金问题等都进行了系统的研究。他一反通常程序，而从概率原理去推导排列组合公式。他明确提出了统计独立性和条件概率的概念，还为概率论发展了一套普遍的概率符号，并称之为“新代数”。他得到了泊松分布的一种特殊情形，并将母函数用于对正态分布的讨论。其《年金论》不仅改进了以往关于人口统计的方法，而且在假定死亡率所遵循的规律以及银行利息不变的前提下，导出了计算年金的公式，其内容被人奉为经典。由此可见，棣莫弗致力于将概率论应用于人文、社会科学研究中。这在概率论发展中起到了承前启后的作用。对于棣莫弗自己来说，他认为解决了这样的哲学问题：在人们以为纯粹偶然的事件中，可以寻找其规律和必然。正如他在《机遇论》第3版所言，尽管机会具有不规则性，由于机会无限多，随着时间的推移，不规则性与秩序性相比将显得微不足道。他强调，这种秩序自然是从“固有设计中”产生出来的。棣莫弗对他在概率论方面的研究成果感到非常满意，在其《机遇论》的序言中写道：“在我刚开始解决机会游戏问题时，看不到光明所在，因为蒙特摩先生在他的书中曾给出了这一问题的解决方法，可他仅仅压了三个输或赢的赌注，并且通过假设进一步限制了冒险者之间的一种平等技巧，况且他也没有给出证明的方法，我是努力冲破这一切的。”时至今日，正态分布牢固地占据了统计分析和概率论的主导地位，已广泛应用于天文及测地数据的分析、社会统计、生物统计、教育统计、体育统计及卫生统计等。追本溯源，棣莫弗的开创之功实不可没。往期相关文章:雅各布·伯努利的《猜度术》研究惠更斯的《论赌博中的计算》研究概率论的诞生长按二维码识别关注我们 查看全文
